Trong vật lý cổ điển, tổng động lượng và động năng của một hệ kín được bảo toàn theo thời gian, ít nhất khi va chạm là đàn hồi. Nó là một tính chất tương thích độc lập với nguyên lý tương đối Galile. Khi chuyển hệ quy chiếu Galile sẽ cho giá trị thay đổi của năng lượng và động lượng nhưng tổng năng lượng và động lượng trong hệ mới này cũng được bảo toàn theo thời gian.

Trong thuyết tương đối hẹp, véc tơ-4 năng lượng-động lượng tổng cộng của hệ kín cũng là đại lượng bảo toàn, và cũng là một tính chất tương thích và độc lập với nguyên lý tương đối của Einstein. Các hệ tọa độ của véc tơ bốn chiều này được nhóm thành của năng lượng và động lượng, được bảo toàn bởi bất kỳ tương tác nào giữa các phần tử trong hệ kín. Trong vật lý phi tương đối tính, một sự thay đổi hệ quy chiếu cho ra một giá trị mới của tọa độ năng lượng (tọa độ thời gian) và tọa độ động lượng (các tọa độ không gian), và trong hệ quy chiếu mới này sự bảo toàn của các hệ tọa độ, theo thời gian, vẫn còn đúng.

Nguyên lý bảo toàn phát biểu như sau:

Véc tơ-4 của một hệ kín là đại lượng bảo toàn bất kể tương tác bên trong của hệ như thế nào và chi tiết của thí nghiệm ra sao.

Nói cách khác ta có thể viết:

Σ (initial particles J)   p J = Σ (final particles K)   p K {\displaystyle \Sigma _{\text{(initial particles J)}}\ \mathbf {p} _{\text{J}}=\Sigma _{\text{(final particles K)}}\ \mathbf {p} _{\text{K}}}

Vì véc tơ-4 được bảo toàn, mỗi thành phần của nó trong một hệ quy chiếu (mà từng giá trị phụ thuộc vào hệ quy chiếu) cũng được bảo toàn trong va chạm. Thành phần thời gian biểu diễn năng lượng E của hệ và thành phần không gian biểu diễn động lượng p → {\displaystyle {\vec {p}}} của hệ, đối với mỗi hệ quy chiếu có hai quy tắc bảo toàn, một cho năng lượng và một cho động lượng (hoặc xung lượng).

Tính bảo toàn của véc tơ-4 năng lượng-xung lượng trong một va chạmVí dụ

Hai hạt va chạm theo hướng ngược chiều nhau. Hạt A khối lượng bằng 8 (cho theo đơn vị tổng quát) chuyển động với vận tốc v/c bằng 15/17 hướng về bên phải trong khi có một hạt khối lượng 12 chuyển động theo hướng ngược lại với vận tốc v/c bằng 5/13 (các số được chọn[44] để phép tính cho đơn giản). Sau va chạm, A bật trở lại theo hướng khác và truyền một phần động lượng cho B. Tổng năng lượng, cộng năng lượng của các hạt A và B là đại lượng bảo toàn, và tương tự cho tổng động lượng. Đại lượng E và p biểu diễn thay cho các giá trị thực tế (E/c2) và (p/c) được biểu diễn theo đơn vị khối lượng bất kỳ. Với các khối lượng này chúng ta có liên hệ sau E 2 = p 2 + m 2. Hệ số γ luôn luôn xác định bằng γ = [1 - (v/c)2]-1/2.

Va chạm đàn hồi

Trong máy gia tốc hạt một hạt có năng lượng rất cao va chạm với một hạt đứng yên và chuyển một phần động năng của nó cho hạt kia. Nếu chỉ coi năng lượng được chuyển hoàn toàn là động năng (và bảo toàn động lượng của hệ), chúng ta nói rằng va chạm này là va chạm đàn hồi. Công thức miêu tả sự bảo toàn của véc tơ-4 của hệ chứa hai hạt này cho phép phân tích xa hơn của quá trình va chạm. Trong cơ học Newton, hướng của hai hạt có cùng khối lượng sau va chạm đàn hồi tạo thành một góc vuông. Giá trị góc này không còn đúng trong trường hợp va chạm đàn hồi giữa hai hạt tương đối tính, nơi góc tạo bởi hai hạt sau va chạm tạo thành một góc nhọn. Hiện tượng này đã được ghi lại rõ ràng bằng buồng bọt từ các vụ chạm hạt cơ bản.

Va chạm đàn hồi của hai hạt có cùng khối lượng.

Xét một hạt electron khối lượng m có năng lượng rất lớn va chạm với một electron đứng yên. Các véc tơ động lượng của hai hạt được vẽ ra ở hình bên cạnh. Trước khi va chạm, véc tơ động lượng của electron đến là p → {\displaystyle {\vec {p}}} . Sau va chạm, véc tơ động lượng của hai hạt lần lượt là p → 1 {\displaystyle {\vec {p}}_{1}} và p → 2 {\displaystyle {\vec {p}}_{2}} . Bằng cách viết năng lượng của electron bằng tổng của năng lượng nghỉ mc2 và động năng K, tổng năng lượng của hệ trước va chạm bằng:

E = m c 2 + m c 2 + K {\displaystyle E=mc^{2}+mc^{2}+K}

Tương tự, năng lượng của mỗi hạt sau va chạm

E 1 = m c 2 + K 1 {\displaystyle E_{1}=mc^{2}+K_{1}} E 2 = m c 2 + K 2 {\displaystyle E_{2}=mc^{2}+K_{2}}

Theo định luật bảo toàn năng lượng E = E1 + E2 và do vậy

K = K 1 + K 2 {\displaystyle K=K_{1}+K_{2}}

công thức trên cho thấy động năng cũng được bảo toàn (trong va chạm đàn hồi).

Theo định luật bảo toàn động lượng

p → = p → 1 + p → 2 {\displaystyle {\vec {p}}={\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}}

và do vậy nếu ta gọi θ là góc tạo bởi hai véc tơ   p → 1 {\displaystyle \ {\vec {p}}_{1}} và   p → 2 {\displaystyle \ {\vec {p}}_{2}} dẫn đến liên hệ

p 2 = p 1 2 + p 2 2 + 2 p 1 p 2 cos ⁡ θ {\displaystyle p^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}\cos \theta }

từ đây chúng ta rút ra được

cos ⁡ θ = p 2 − ( p 1 2 + p 2 2 ) 2 p 1 p 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {p^{2}-(p_{1}^{2}+p_{2}^{2})}{2p_{1}p_{2}}}}

Bằng cách lấy bình phương động lượng của mỗi electron như là hàm theo năng lượng và khối lượng, áp dụng công thức ở trên ta nhận được

p 2 c 2 = ( m c 2 + K ) 2 − m 2 c 4 = K 2 + 2 K m c 2 {\displaystyle p^{2}c^{2}=(mc^{2}+K)^{2}-m^{2}c^{4}=K^{2}+2Kmc^{2}}

cho electron đến trước va chạm và

p 1 2 c 2 = E 1 2 − m 2 c 4 = ( m c 2 + K 1 ) 2 − m 2 c 4 = K 1 2 + 2 K 1 m c 2 {\displaystyle p_{1}^{2}c^{2}=E_{1}^{2}-m^{2}c^{4}=(mc^{2}+K_{1})^{2}-m^{2}c^{4}=K_{1}^{2}+2K_{1}mc^{2}} p 2 2 c 2 = E 2 2 − m 2 c 4 = ( m c 2 + K 2 ) 2 − m 2 c 4 = K 2 2 + 2 K 2 m c 2 {\displaystyle p_{2}^{2}c^{2}=E_{2}^{2}-m^{2}c^{4}=(mc^{2}+K_{2})^{2}-m^{2}c^{4}=K_{2}^{2}+2K_{2}mc^{2}}

cho các electron sau va chạm.

Vì K = K1 + K2 ta dễ dàng thu được công thức cuối cùng

cos ⁡ θ = K 1 K 2 ( K 1 2 + 2 K 1 m c 2 ) 1 / 2 ( K 2 2 + 2 K 2 m c 2 ) 1 / 2 ≡ ( 1 + 2 m c 2 K 1 ) − 1 / 2 ( 1 + 2 m c 2 K 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {K_{1}K_{2}}{(K_{1}^{2}+2K_{1}mc^{2})^{1/2}(K_{2}^{2}+2K_{2}mc^{2})^{1/2}}}\equiv \left(1+{\frac {2mc^{2}}{K_{1}}}\right)^{-1/2}\left(1+{\frac {2mc^{2}}{K_{2}}}\right)^{-1/2}}

Công thức trên cho thấy cos θ có giá trị dương và do đó hướng của hai electron sau va chạm tạo thành một góc nhọn.

Có thể dễ dàng tìm thấy trong các sách về thuyết tương đối[45] có xét trường hợp va chạm đối xứng, với hai electron có cùng năng lượng K1 = K2 = K/2. Trong trường hợp đặc biệt này, công thức trên trở thành:

cos ⁡ θ = K K + 4 m c 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {K}{K+4mc^{2}}}}       cho va chạm đối xứng.

• Trong giới hạn Newton ở vận tốc nhỏ, động năng nhỏ hơn rất nhiều so với năng lượng nghỉ mc2 do vậy

cos ⁡ θ = lim v → 0 K 1 K 2 2 m c 2 = 0 {\displaystyle \cos \theta =\lim _{v\to 0}{\frac {\sqrt {K_{1}K_{2}}}{2mc^{2}}}=0} tiến đến zero, có nghĩa là góc θ tiến đến π /2. Hay đây là kết quả trong trường hợp phi tương đối tính.

• Ngược lại đối với trường hợp năng lượng rất cao, động năng trở lên lớn hơn so với mc2 do đó

cos ⁡ θ ≃ 1 − m c 2 K 1 − m c 2 K 2 {\displaystyle \cos \theta \simeq 1-{\frac {mc^{2}}{K_{1}}}-{\frac {mc^{2}}{K_{2}}}} Trong trường hợp này cos tiến tới 1, do vậy góc giữa hai electron sau va chạm tiến tới zero. Điều này hàm ý kết quả khác lạ hoàn toàn so với cơ học cổ điển Newton.

Công thức trên cũng áp dụng cho va chạm giữa các hạt cơ bản khác như proton.

Tán xạ Compton

Một ứng dụng vật lý của định luật bảo toàn động lượng và năng lượng đối với hệ hạt được sử dụng làm công cụ phân tích quá trình va chạm giữa một photon năng lượng cao với một electron ở trạng thái nghỉ hoặc có vận tốc rất nhỏ, hay còn gọi là quá trình tán xạ Compton.